A Torre de Hanói é um dos quebra-cabeças matemáticos mais populares. Ele foi inventado por Edouard Lucas em 1883.
1. Peças
As peças são n discos de tamanhos diferentes e todos com um furo em seu centro e três pinos onde são colocados os discos. Certamente podem ser encontrados em qualquer loja de brinquedos.
2. Regras e objetivos do jogo
Inicialmente os discos formam uma torre onde todos são colocados em um dos pinos em ordem decrescente de tamanho.
Devemos transferir toda a torre para um dos outros pinos de modo que cada movimento é feito somente com um disco, nunca havendo um disco maior sobre um disco menor.
3. A Pergunta que será calada
Queremos saber qual é o menor número de movimentos necessários para
resolver uma torre de Hanói com n discos Há uma história (imaginada pelo próprio Edouard Lucas) sobre a torre de Hanói:
No começo dos tempos, Deus criou a Torre de Brahma, que contém três pinos de diamante e colocou no primeiro pino 64 discos de ouro maciço. Deus então chamou seus saserdotes e ordenou-lhes que transferissem todos os discos para o terceiro pino, seguindo as regras acima. Os sacerdotes então obedeceram e começaram o seu trabalho, dia e noite. Quando eles terminarem, a Torre de Brahma irá ruir e o mundo acabará.
É preciso de movimentos para resolver o problema da torre de Hanói com n discos. Ou seja, os sacerdotes precisarão de movimentos. Mesmo se eles fizessem um movimento por segundo, eles precisariam de mais de 500 bilhões de anos!! Podemos ficar tranqüilos por enquanto.
resolver uma torre de Hanói com n discos Há uma história (imaginada pelo próprio Edouard Lucas) sobre a torre de Hanói:
No começo dos tempos, Deus criou a Torre de Brahma, que contém três pinos de diamante e colocou no primeiro pino 64 discos de ouro maciço. Deus então chamou seus saserdotes e ordenou-lhes que transferissem todos os discos para o terceiro pino, seguindo as regras acima. Os sacerdotes então obedeceram e começaram o seu trabalho, dia e noite. Quando eles terminarem, a Torre de Brahma irá ruir e o mundo acabará.
É preciso de movimentos para resolver o problema da torre de Hanói com n discos. Ou seja, os sacerdotes precisarão de movimentos. Mesmo se eles fizessem um movimento por segundo, eles precisariam de mais de 500 bilhões de anos!! Podemos ficar tranqüilos por enquanto.
Você sabia…
O grande Leonard Euler afirmou que não há soluções inteiras positivas para a equação
X4 + y4 + z4 = w4. Durante 200 anos ninguém conseguiu demonstrar isto. Parecia ser uma afirmação verdadeira uma vez que também ninguém pode provar que era falsa.
Entretanto, Noam Elkies da Universidade de Harvard trabalhando com um potente computador encontrou
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734
A afirmação de Euler é falsa!
X4 + y4 + z4 = w4. Durante 200 anos ninguém conseguiu demonstrar isto. Parecia ser uma afirmação verdadeira uma vez que também ninguém pode provar que era falsa.
Entretanto, Noam Elkies da Universidade de Harvard trabalhando com um potente computador encontrou
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734
A afirmação de Euler é falsa!
Você sabia…
pi é aproximadamente:
3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974
94459230781640628620899862803482534211706798214808651328230
66470938446095505822317253594081284811174502841027019385211
05559644622948954930381964428810975665933446128475648233786
78316527120190914564856692346034861045432664821339360726024
91412737245870066…?
Você sabia…
que são conhecidos 51539600000 casas decimais de pi, calculadas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997? E que em 21/8/1998 foi calculada pelo projeto Pihex a 5000000000000a. casa binária de pi ?
Consulte a home-page http://www.cecm.sfu.ca/pi
Você sabia…
e-mail: obm@impa.br
Revista do Professor de Matemática
A RPM é uma publicação da SBM destinada aos professores de Matemática do ensino médio, que pretende ser um veículo de circulação e intercâmbio de idéias através de seus artigos e seções.
Estamos comemorando o número 44 da RPM e 19 anos de publicação sem interrupção, com capa nova e com renovado estímulo para continuar auxiliando o professor de Matemática.
Revista do Professor de Matemática
Caixa Postal 66281
CEP 05315-970 São Paulo – SP
e-mail: rpm@ime.usp.br
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GIGANTES
DA MATEMÁTICA
Tales
de Mileto
Tales
de Mileto:
N. 624 a.C. em Mileto, Ásia Menor - Turquia
Pitágoras:
N. 570 e 590 a.C.- Grécia.
Bhaskara:
N. 1114 - Índia
Eratóstenes N. em 276 a.C., Grécia
Gabriel
Cramer
N.1704 Suíça
Jean
Le Rond
D'Alembert:
N. 1717 França
René
Descartes:
N. 1596 - França
Leonardo
Pisano
N.1170 - Italiano.
Leonhard
Euler:
N.
1707 - Suiça
Pierre
de Fermat
N. 1601 - França
Seu
último teorema xn
+ yn
= zn
FRASES
SOBRE A MATEMÁTICA
Ao longo do tempo muitos homens
conseguiram atingir o êxtase da criação. A estes homens dá-se o
nome de MATEMÁTICOS.
A
geometria é uma ciência de todas as espécies possíveis de
espaços. (Kant)
A
Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não
só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes
e poupar trabalho aos homens. (Descartes)
O
espaço é o objeto que o geômetra deve estudar. (Poincaré)
O
céu deve ser necessariamente esférico, pois a esfera, sendo gerada
pela rotação do círculo, é, de todos os corpos, o mais perfeito.
(Aristóteles)
Os
números governam o mundo. (Platão)
A
noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em
Matemática, resume-se no seguinte princípio: depois de cada número
inteiro existe sempre um outro. (J. Tannery)
Sem
a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos
maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a
navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da
humanidade. (Amoroso Costa)
A
Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e
esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e
ajudar-nos na vida. (Jacques Bernoulli)
Entre
dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que
sabe geometria é superior ao outro e adquire um vigor especial.
(Pascal)
Os
números são as regras dos seres e a Matemática é o Regulamento do
Mundo. (F. Gomes Teixeira)
O
livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos
matemáticos. (Galileu)
O
grande arquiteto do Universo começa a parecer-nos um puro
matemático. (James Jeans)
Deus
é o Geômetra Onipotente para quem o mundo é imenso problema
matemático. (Leibniz)
Os
conceitos mais simples são os mais abstratos. (Ostwald)
A
escada da Sabedoria tem os degraus feitos de números. (Blavatsky)
Na
Matemática, se a experiência não intervém depois que se deu o
primeiro passo, é porque não é mais preciso. (Pontes de Miranda)
Na
Matemática, para saborear com prazer o fruto é preciso conhecer bem
as suas raízes.
OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA É DIVERTIDO RESOLVER PROBLEMAS
5
5 5 5 = 3
5
5 5 5 = 5
5
5 5 5 = 6
5
5 5 5 = 26
5
5 5 5 = 30
5
5 5 5 = 50
5
5 5 5 = 55
5 5
5 5 = 120
COMO
CONSEGUIR ESTAS IGUALDADES
COLOCANDO ENTRE
OS 5 SINAIS ARITMÉTICOS?
Você
sabia…
Que
o record de maior primo de Fermat generalizado (i. e., da forma )
conhecido foi batido em 2/11/1999?
Este
primo é 11402416384
+ 1, tem 82854 dígitos e foi descoberto por Kimmo Herranen, usando
um programa desenvolvido por Yves Gallot
(veja:http://perso.wanadoo.fr/yves.gallot/primes/gfn.html)
Você
sabia…
Que
ninguém sabe se existem infinitos primos p
tais que p
+ 2 também seja primo (mas todo mundo acredita nisso)?
Um
para de primos p,
p
+
2 é chamado um par de primos gêmeos. Os maiores primos ge-meos
conhecidos são 361700055 .
239020 +_
1, que têm 11755 dígitos e foram descobertos este ano por Henri
Lifchitz. Também não se sabe se todo número par maior ou igual a 4
pode ser escrito como soma de dois primos.
(esta
é a conjectura de Golbach).
Você
sabia…
Que
o maior número primo conhecido é 26972593–1,
que tem 2.098.960 dígitos e foi descoberto em 1/6/99 por Nayan
Hafratwala, um participante do GIMPS, um projeto cooperativo para
procurar primos de mersenne?
Consulte
na Internet a página
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